Abaque

Un abaque, également appelé cadre de comptage, est un outil de calcul pour effectuer des processus arithmétiques, souvent construit comme un cadre en bois avec des perles coulissant sur des fils. L’utilisateur, appelé abaciste, fait glisser les compteurs à la main sur des tiges ou dans des rainures. Il était en usage des siècles avant l’adoption du système numérique hindou-arabe et est encore largement utilisé par certains marchands et employés.

L’abaque est un outil de calcul simple, peu coûteux mais puissant. Bien que les calculatrices électroniques le remplacent pour des raisons pratiques, l’utilisation de l’abaque continue d’être enseignée dans des pays technologiquement avancés comme le Japon . Tout comme pour les jeux de société populaires tels que les échecs, le shogi et le go , des compétitions locales, régionales et nationales d’utilisation de boulier sont organisées pour les étudiants.

Origines

Le premier abaque était très probablement basé sur une pierre plate recouverte de sable ou de poussière. Les mots et les lettres étaient dessinés dans le sable; finalement des chiffres ont été ajoutés et des cailloux ont été utilisés pour faciliter les calculs. Les Babyloniens ont utilisé ce boulier de poussière dès 2400 avant notre ère. L’origine d’abaque à cordes est obscure, mais l’Inde, la Mésopotamie ou l’Egypte sont considérées comme des points d’origine probables. La Chine a joué un rôle essentiel dans le développement et l’évolution de l’abaque.

À partir de là, une variété d’abaques a été développée; les plus populaires étaient basés sur le système bi-quinaire, utilisant une combinaison de deux bases (base-2 et base-5) pour représenter les nombres décimaux. Mais le premier abaque utilisé d’abord en Mésopotamie et plus tard par les scribes en Egypte et en Grèce utilisait des nombres sexagésimaux représentés avec des facteurs de 5, 2, 3 et 2 pour chaque chiffre.

Le mot abaque vient du latin abakos, la forme génitive grecque de abax (« table de calcul »). Parce qu’abax avait aussi le sens de « table saupoudrée de sable ou de poussière, utilisée pour dessiner des figures géométriques », certains linguistes pensent que le mot grec peut être dérivé d’une racine sémitique, ābāq (prononcé « a-vak »), le mot hébreu pour «poussière». Bien que les détails de la transmission soient obscurs, il peut également être dérivé du mot phénicien abak, qui signifie «sable».

Abaque babylonien

Les Babyloniens peuvent avoir utilisé l’abaque pour l’addition et la soustraction. Cependant, ce dispositif primitif s’est avéré difficile à utiliser pour des calculs plus complexes.  Certains savants pointent vers un caractère du cuniforme babylonien qui peut avoir été dérivé d’une représentation de l’abaque.

Abaque. égyptien

L’utilisation de l’abaque dans l’Égypte ancienne est mentionnée par l’historien grec Hérodote , qui écrit que la manière de son utilisation par les Égyptiens était opposée par rapport à la méthode grecque. Les archéologues ont trouvé des disques anciens de différentes tailles qui auraient été utilisés comme compteurs. Cependant, aucune représentation murale de ces instruments n’a été découverte, ce qui jette un doute sur l’étendue de l’utilisation de cet instrument.

Abaque grec

Une tablette trouvée sur l’île grecque de Salamine en 1846 remonte à 300 avant notre ère , ce qui en fait la plus ancienne planche de comptage découverte à ce jour. C’est une dalle de marbre blanc de 149 cm de long, 75 cm de large et 4,5 cm d’épaisseur, sur laquelle se trouvent 5 groupes de marques. Au centre de la tablette se trouve un ensemble de 5 lignes parallèles également divisées par une ligne verticale, coiffées d’un demi-cercle à l’intersection de la ligne horizontale la plus basse et de la ligne verticale unique. Au-dessous de ces lignes se trouve un large espace avec une fissure horizontale le divisant. Au-dessous de cette fissure se trouve un autre groupe de onze lignes parallèles, encore divisées en deux sections par une ligne perpendiculaire à elles, mais avec le demi-cercle au sommet de l’intersection; les troisième, sixième et neuvième de ces lignes sont marquées d’une croix à leur intersection avec la ligne verticale.

Abaque romain

La méthode normale de calcul dans la Rome antique, comme en Grèce, consistait à déplacer les compteurs sur une table lisse. À l’origine, des galets, des calculs, étaient utilisés. Plus tard, et dans l’Europe médiévale, des jetons ont été fabriqués. Les lignes marquées indiquaient les unités, cinq, dizaines, etc. comme dans le système de chiffres romains. Ce système de «contre-moulage» s’est poursuivi dans l’empire romain tardif et dans l’Europe médiévale, et a persisté dans une utilisation limitée jusqu’au XIXe siècle.

En plus de la méthode plus courante utilisant des compteurs en vrac, plusieurs spécimens ont été trouvés d’un abaque romain. Il avait huit longues rainures contenant jusqu’à cinq perles dans chacune et huit rainures plus courtes ayant une ou pas de perles dans chacune.

La rainure marquée I indique des unités, X dizaines, et ainsi de suite jusqu’à des millions. Les perles dans les rainures plus courtes désignent cinq – cinq unités, cinq dizaines, etc., essentiellement dans un système décimal codé bi-quinaire, évidemment lié aux chiffres romains. Les courtes rainures sur la droite peuvent avoir été utilisées pour marquer les onces romaines.

Abaque indien

Les sources du premier siècle, comme les Abhidharmakosa, décrivent la connaissance et l’utilisation de l’abaque en Inde .  Autour du cinquième siècle, les employés indiens trouvaient déjà de nouvelles façons d’enregistrer le contenu de l’Abaque. Les textes hindous utilisaient le terme shunya (signifie zéro) pour indiquer la colonne vide sur l’abaque.

Abaque chinois

La première mention d’un suanpan se trouve dans un livre du premier siècle de la dynastie des Han de l’Est , à savoir des Notes supplémentaires sur l’art des figures écrites par Xu Yue. Cependant, la conception exacte de ce suanpan n’est pas connue.

Habituellement, un suanpan mesure environ 20 cm de haut et se décline en différentes largeurs selon l’opérateur. Il a généralement plus de sept tiges. Il y a deux perles sur chaque tige dans le pont supérieur et cinq perles chacune dans le bas pour le calcul décimal et hexadécimal. Les perles sont généralement arrondies et en bois dur. Les perles sont comptées en les déplaçant vers le haut ou vers le bas vers la poutre. Le suanpan peut être réinitialisé instantanément à la position de départ par une secousse rapide le long de l’axe horizontal pour faire tourner toutes les perles loin du faisceau horizontal au centre.

Les Suanpans peuvent être utilisés pour des fonctions autres que le comptage. Contrairement au tableau de comptage simple utilisé dans les écoles élémentaires, des techniques de suanpan très efficaces ont été développées pour effectuer des opérations de multiplication, division, addition, soustraction, racine carrée et racine cubique à grande vitesse.

Dans le célèbre long défilement du Jour de Qingming au bord de la rivière peint par Zhang Zeduan (1085-1145) pendant la dynastie Song (960-1297), on voit clairement un suanpan allongé à côté d’un livre de comptes et des ordonnances du médecin sur le comptoir d’un apothicaire (Feibao ).

La similitude de l’abaque romain avec le chinois suggère que l’un aurait pu inspirer l’autre, car il existe des preuves d’une relation commerciale entre l’ Empire romain et la Chine. Cependant, aucune connexion directe ne peut être démontrée, et la similitude de l’abaque peut être une coïncidence, les deux résultant finalement du comptage avec cinq doigts par main. Là où le modèle romain (comme la plupart des modèles japonais modernes ) a 4 plus 1 perle par décimale, le suanpan standard a 5 plus 2 pour des algorithmes arithmétiques moins complexes dans un système numérique hexadécimal. Au lieu de fonctionner sur des fils comme dans les modèles chinois et japonais, les perles du modèle romain courent dans les bosquets, rendant vraisemblablement les calculs arithmétiques beaucoup plus lents.

Une autre source possible du suanpan sont les tiges de comptage chinoises, qui fonctionnaient avec un système décimal mais n’avaient pas le concept de zéro comme espace réservé. Le zéro a probablement été introduit aux Chinois sous la dynastie Tang (618-907) lorsque des voyages dans l’océan Indien et au Moyen-Orient auraient fourni un contact direct avec l’Inde et l’ islam leur permettant d’acquérir le concept de zéro et de la virgule décimale des Indiens et marchands et mathématiciens islamiques.

Abaques coréens et japonais

L’abaque a migré de la Chine vers la Corée vers l’an 1400 et plus tard au Japon , autour de l’année 1600.  La version de la Corée du boulier est appelé Jupan (주판) ou Supan (수판) ou Jusan (주산).

Le suanpan chinois s’appelait soroban au Japon. Comme le suanpan, le soroban est encore utilisé au Japon aujourd’hui, même avec la prolifération, l’aspect pratique et l’abordabilité des calculatrices électroniques de poche.

Abaques amérindiens

Certaines sources mentionnent l’utilisation d’un boulier appelé nepohualtzintzin dans l’ancienne culture aztèque . Cet abaque mésoaméricain utilisait un système de base 20 à 5 chiffres.

Le quipu des Incas était un système de cordes nouées utilisé pour enregistrer des données numériques, comme des bâtons de comptage avancés, mais non utilisé pour effectuer des calculs. Les calculs ont été effectués à l’aide d’un yupana (quechua pour «outil de comptage») qui était encore en usage après la conquête du Pérou. Le principe de fonctionnement d’un yupana est inconnu, mais en 2001 une explication de la base mathématique de ces instruments a été proposée. En comparant la forme de plusieurs yupanas, les chercheurs ont découvert que les calculs étaient basés sur la séquence de Fibonacci 1,1,2,3,5 et les puissances de 10, 20 et 40 comme valeurs de position pour les différents champs de l’instrument. L’utilisation de la séquence de Fibonacci permettrait de maintenir au minimum le nombre de grains dans un champ.

Abaque russe

L’abaque russe, le schoty (счёты), a généralement un seul pont incliné, avec dix perles sur chaque fil (sauf un fil qui a quatre perles, pour les fractions d’un quart de rouble). Ce fil est généralement à proximité de l’utilisateur. (Les modèles plus anciens ont un autre fil à 4 perles pour les quarts de kopeks, qui ont été frappés jusqu’en 1916.) L’abaque russe est souvent utilisé verticalement, avec des fils de gauche à droite à la manière d’un livre. Les fils sont généralement courbés pour se gonfler vers le haut au centre, afin de maintenir les perles épinglées sur l’un des deux côtés. Il est effacé lorsque toutes les perles sont déplacées vers la droite. Lors de la manipulation, les billes sont déplacées vers la gauche. Pour une visualisation facile, les 2 perles du milieu sur chaque fil (les 5ème et 6ème perles) ont généralement une couleur différente des 8 autres perles. De même, le cordon gauche du fil des milliers (et le fil du million, s’il est présent) peut avoir une couleur différente.

L’abaque russe est encore utilisé aujourd’hui dans les magasins et les marchés de l’ex-Union soviétique, bien qu’il ne soit plus enseigné dans la plupart des écoles.

Abaque scolaire

Partout dans le monde, les abaques ont été utilisés dans les écoles maternelles et élémentaires comme aide à l’enseignement du système numérique et de l’arithmétique . Dans les pays occidentaux, un cadre de perles similaire à l’abaque russe mais avec des fils droits et un cadre vertical est courant. Il est encore souvent considéré comme un jouet en plastique ou en bois.

Le type d’abaque montré ici est souvent utilisé pour représenter des nombres sans utiliser de valeur de position. Chaque perle et chaque fil a la même valeur et utilisé de cette manière, il peut représenter des nombres jusqu’à 100.

L’avantage pédagogique le plus important de l’utilisation d’un abaque, plutôt que de perles ou de compteurs en vrac, lors de la pratique du comptage et de l’addition simple est qu’il donne à l’étudiant une conscience des groupes de 10 qui sont la base de notre système de numération. Bien que les adultes tiennent cette structure de base 10 pour acquise, elle est en fait difficile à apprendre. Beaucoup d’enfants de 6 ans peuvent compter jusqu’à 100 par cœur avec seulement une légère conscience des schémas impliqués.

Utilisations par les aveugles

Un abaque adapté, appelé abaque de Cranmer, est encore couramment utilisé par les personnes aveugles. Un morceau de tissu doux ou de caoutchouc est placé derrière les perles afin qu’elles ne bougent pas par inadvertance. Cela maintient les perles en place pendant que les utilisateurs les sentent ou les manipulent. Ils utilisent un abaque pour exécuter les fonctions mathématiques multiplication, division, addition, soustraction, racine carrée et racine cubique.

Bien que les élèves aveugles aient bénéficié de calculatrices parlantes, l’abaque est encore très souvent enseigné à ces élèves dans les premières années, tant dans les écoles publiques que dans les écoles publiques pour aveugles. L’abaque enseigne des compétences mathématiques qui ne peuvent jamais être remplacées par des calculatrices parlantes et est un outil d’apprentissage important pour les étudiants aveugles. Les élèves aveugles effectuent également des travaux de mathématiques en utilisant un rédacteur en braille et un code Nemeth (un type de code braille pour les mathématiques), mais les problèmes de multiplication et de division longs peuvent être longs et difficiles. L’abaque donne aux étudiants aveugles et malvoyants un outil pour calculer des problèmes mathématiques qui équivaut à la vitesse et aux connaissances mathématiques requises par leurs pairs voyants à l’aide d’un crayon et de papier. Beaucoup de personnes aveugles trouvent que cette machine à numéros est un outil très utile tout au long de la vie.